La forma correcta es ‘dar abasto’, según la Fundación de Español Urgente (Fundéu).
La expresión ‘dar abasto’ significa 'bastar, rendir lo suficiente'.
Se trata de una locución formada por el verbo ‘dar’ y el sustantivo ‘abasto’, que significa un conjunto de víveres o artículos de primera necesidad con los que se abastece a la población.
Ejemplo: 'Tras la catástrofe, los equipos de rescate no daban abasto a la hora de socorrer a las víctimas'.
‘Dar a basto’ es incorrecto
Así pues, la expresión ‘dar a basto’ es incorrecta.
El sustantivo ‘basto’ no tiene nada que ver con la acción de abastecer o bastar.
‘Basto’ se puede referir a un ‘aparejo o albarda’ o a la ‘carta de la baraja española’.